Система околів

База околів у точці і система околів — базові поняття у загальній топології, за допомогою яких можна дати означення топологічного простору, еквівалентні стандартним означенням за допомогою відкритих множин. За допомогою систем чи баз околів дається означення неперервної у точці функції.

Означення

Нехай $(X,\tau )$ — топологічний простір і $x\in X$. Множина всіх околів (не обов'язково відкритих) точки $x$ називається системою околів у точці $x$. Для неї використовується позначення ${\mathcal {V}}(x)$

Множина ${\mathcal {B}}(x)\subset {\mathcal {V}}(x)$ околів точки $x$ називається базою околів у точці $x$ або фундаментальною системою околів точки $x$ якщо:

${\big (}\forall U\in {\mathcal {V}}(x){\big )}{\big (}\exists V\in {\mathcal {B}}(x\in V\subseteq U){\big )}$.

У подібний спосіб також можна дати означення систем і баз околів довільної підмножини топологічного простору.

Приклади

• Система околів точки $x$ є також базою околів у цій точці.
• Якщо $X$ є дискретним простором, то ${\mathcal {B}}_{d}(x)={\big \{}\{x\}{\big \}}$ (одноелементна множина) є базою околів у $x\in X$. Якщо $X$ є антидискретним простором, то ${\mathcal {B}}_{a}(x)=\{X\}$ є базою околів у $x\in X$.
• Якщо $X$ є метричним простором з метрикою $d$ і для точки $x\in X$ і числа $r>0$ позначимо $B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$, то тоді сім'я $\{B(x,1/n):n=1,2,3,\ldots \}$ є базою околів у $x$.

Властивості

Тут, як і у статті Окіл, околом точки називається множина, що містить відкриту множину, елементом якої є дана точка, тобто околи не обов'язково є відкритими множинами.

• Нехай $\{{\mathcal {V}}(x):x\in X\}$ є системою околів топологічного простору $X$. Тоді виконуються такі властивості:

1. Для кожного $x\in X$, ${\mathcal {V}}(x)\neq \emptyset$ і для кожного $U\in {\mathcal {V}}(x)\$ $x\in U$.
2. Якщо $U\in {\mathcal {V}}(x)\$ і $U\subset V\subset X$ то також $V\in {\mathcal {V}}(x)\$.
3. Якщо $U\in {\mathcal {V}}(x)$, то існує $U\supset V\in {\mathcal {V}}(x)$, такий що $U\in {\mathcal {V}}(y)$ для кожної точки $y\in V$.
4. Перетин скінченної кількості елементів ${\mathcal {V}}(x)$ теж є елементом ${\mathcal {V}}(x)$.

Перші дві властивості випливають із означення околу точки, четверта із того, що перетин скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною (і з того факту, що за означенням кожен окіл містить відкритий окіл). У третій властивості за множину $V$ можна взяти довільний окіл, який існує за означенням. Властивість одержується з того факту, що відкрита множина є околом всіх своїх точок і тому довільна множина, що її містить теж є околом всіх її точок.

• Навпаки, припустимо, що $X$ є непустою множиною і $\{{\mathcal {V}}(x):x\in X\}$ є системою сімей підмножин $X$, що задовольняють властивості 1 - 4. Нехай $\tau$ — сім'я всіх підмножин $X$, таких що $U\in {\mathcal {V}}(x)$ для всіх $x\in U$. Тоді $\tau$ є топологією на $X$ і $\{{\mathcal {V}}(x):x\in X\}$ є системою околів для цієї топології. Топологія $\tau$ називається топологією породженою системою околів $\{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}$. Таким чином система околів може бути одним із способів задання топології на множині.

Очевидно, що пуста множина і весь простір належать $\tau$. Для довільної сім'ї множин із $\tau$ їх об'єднання містить кожну із цих множин і тому, згідно другої властивості, є околом всіх своїх точок. Тобто об'єднання довільної сім'ї множин із $\tau$ теж належить $\tau$. Для скінченної сім'ї множин із $\tau$ кожна з цих множин є околом кожної з точок їх перетину і тому для кожної з цих точок перетин множин є околом (згідно четвертої властивості). Тому перетин скінченної сім'ї підмножин з $\tau$ теж належить $\tau$ і тому $\tau$ є топологією.

Згідно другої властивості кожен окіл точки $x\in X$ належить ${\mathcal {V}}(x)$. Навпаки нехай $V\in {\mathcal {V}}(x)$ і $U$ — множина точок $y$, для яких $V\in {\mathcal {V}}(y)$. Очевидно що $x\in U$ і $U\supset V$. Доведемо, що множина $U$ є відкритою у топології $\tau$. Нехай $y\in U$. Тоді згідно властивості 3 існує така множина $W\in {\mathcal {V}}(y)$, що $V\in {\mathcal {V}}(z)$ для всіх $z\in W$. Тоді з означення $U$ маємо, що $W\supset U$ і оскільки $W\in {\mathcal {V}}(y)$ то з другої властивості також $U\in {\mathcal {V}}(y)$. Оскільки точка $y$ була довільною, то $U$ є околом всіх своїх точок, тобто відкритою множиною у топології $\tau$.

• Аналогічно топологію можна задавати за допомогою бази околів, як сім'ю підмножин $\{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}$, що задовольняють властивості (які виконуються для баз околів):

1. Для кожного $x\in X$, ${\mathcal {B}}(x)\neq \emptyset$ і для кожного $U\in {\mathcal {B}}(x)\$ $x\in U$.
2. Якщо $U\in {\mathcal {B}}(x)$, то існує $U\supset V\in {\mathcal {B}}(x)$, така що для кожної точки $y\in V$ існує $U\supset W\in {\mathcal {B}}(y)$.
3. Перетин скінченної кількості елементів ${\mathcal {B}}(x)$ містить деякий елемент ${\mathcal {B}}(x)$.

Кардинальні функції

З поняттям бази околів пов'язані наступні поняття:

• Характер точки $x\in X$ у топологічного простору $X$ найменша можлива потужність бази околів у цій точці. Характер точки $x\in X$ позначається $\chi (x,X)$.
• Характер простору $X$ за означенням рівний

$\chi (X)=\sup\{\chi (x,X):x\in X\}$.

Див. також

• База топології
• Окіл
• Топологічний простір

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)